מותר בשבת להוציא ארנבת מהכלוב ולהחזיר?

לשלי שלום,
אחת השאלות המרתקות במלאכות שבת היא מהי ההגדרה המדוייקת של מלאכת צידה: האם מלאכת צידה פירושה שלילת החירות של בעל החיים, או שעניין המלאכה הוא הבאת בעל החיים לרשות האדם.
בין כך ובין כך, אם הארנבת לא מנסה לברוח כאשר אתם מוציאים אותה, אין בכך משום צידה, שהרי היא כבר ניצודה מלפני כן, וגם כאשר אתם מוציאים אותה מהכלוב היא ממשיכה להיות ברשותכם ואינה מנסה לברוח. אולם אם היא מנסה לברוח כשהיא בחוץ אז החזרתה לכלוב היא אכן צידה.
מלבד איסור צידה, נחלקו הפוסקים האם חית מחמד היא מוקצה בשבת. הרב עובדיה יוסף מחמיר, והרב אליעזר מלמד בפניני הלכה כתב שיש פוסקים שמקלים, כמו הרב אוירבך, וכיון שזהו ספק דרבנן אפשר להקל.
כל טוב
יעקב.